高三数学课件:应用题专题复习



引言: 引言:
素质教育呼唤应用意识, 素质教育呼唤应用意识,近几年来的高考试题增强了对密切 联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度, 联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度,突出对能力的考 重视应用, 查??重视应用,培养应用数学的意识,培养分析问题的解决问 重视应用 培养应用数学的意识, 题的能力。 题的能力。 分析近几年高考应用性问题不难得出, 分析近几年高考应用性问题不难得出,试题从实际出发提供 公平背景,设问新颖、灵活,而解决这些问题所涉及的数学知识、 公平背景,设问新颖、灵活,而解决这些问题所涉及的数学知识、 数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、 数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、 定理和法则等基础知识和基本方法。 定理和法则等基础知识和基本方法。 解决应用性问题的思路和方法,我们可以用示意图表示为: 解决应用性问题的思路和方法,我们可以用示意图表示为:
实际问题
分析、联系、抽象、 分析、联系、抽象、转化
建立数学模型(列数学关系式) 建立数学模型(列数学关系式)
数学方法
回答问题
实际结果
数学结果
解决应用性问题的关键是读题??懂题 懂题??建立数学关系式。 建立数学关系式。 解决应用性问题的关键是读题 懂题 建立数学关系式
的半圆形钢板, 例
  1、如图,有一块半径为 的半圆形钢板,计 、如图,有一块半径为R的半圆形钢板 划剪成等腰梯形ABCD的形状,它的下底 是⊙O 的形状, 划剪成等腰梯形 的形状 它的下底AB是 的直径,上底CD的端点在圆周上 的端点在圆周上.写出这个梯形周 的直径,上底 的端点在圆周上 写出这个梯形周 和腰长x的函数式 长y和腰长 的函数式,并求出它的定义域 和腰长 的函数式,并求出它的定义域.
D A E O F C B 周长( ) 分析:周长(y)=2AD+CD =2x+CD 关键是如何把CD用 来表示 来表示。 关键是如何把 用x来表示。 而CD=EF=AB-2AE=2R-2AE 要求AE,则在三角形AED中考查。 中考查。 要求 ,则在三角形 中考查 ADB是直角三角形,DE是斜边是的 是直角三角形, 是斜边是的 是直角三角形 x2 高 AD 2 = AE × 2 R ∴ AE = 2R 2 x 从而有y=2x+(2R- ) 从而有 ( R 即y= x2 R
2x+2R (
  0〈x〈R) 〈 〈 )
元售出, 例
  2、某种商品进货单价为 元,按单价每个 元售出,能 、某种商品进货单价为40元 按单价每个50元售出 卖出50个 如果零售价在 元的基础上每上涨1元 如果零售价在50元的基础上每上涨 卖出 个.如果零售价在 元的基础上每上涨 元,其销售量就 减少一个,问零售价上涨到多少元时, 减少一个,问零售价上涨到多少元时,这批货物能取得最高利 润. 利润= 零售价?进货单价 进货单价) 分析:利润=(零售价 进货单价)销售量
零售价 销售量
50 51 52 53 …. 50+x 50 49 48 47 …. 50-x
故有: 故有:设利润为 y元,零售价上涨 元 元 零售价上涨x元 y=(50+x-
  40)( )(50-x) (其中
  0〈x〈
  50)) ( )( ) 〈 〈 )) y=-x2 +40x+500 2 y = ? ( x ? 20 ) + 900 ≥ 900当且仅当 x = 20时等号成立 即零售价上涨到 元时,这批货物能取得最高利润 零售价上涨到70元时 零售价上涨到 元时,这批货物能取得最高利润. 最高利润为900元. 最高利润为 元

  3、某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、 、某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、 乙两个企业, 年该乡从甲企业获得利润320万元 万元, 乙两个企业,1997年该乡从甲企业获得利润 万元,从乙企业获 年该乡从甲企业获得利润 得利润720万元。以后每年上交的利润是:甲企业以 倍的速度递 万元。 得利润 万元 以后每年上交的利润是:甲企业以
  1.5倍的速度递 2 根据测算, 增,而乙企业则为上一年利润的 3 。根据测算,该乡从两个企业获 得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到 万元可以解决温饱问题, 得的利润达到 万元可以解决温饱问题 达到8100万元可以达到 万元可以达到 小康水平. 小康水平 年为第一年, (
  1)若以 )若以1997年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少 年为第一年 的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题? 的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题? 年底该乡能否达到小康水平? (
  2)试估算 )试估算2005年底该乡能否达到小康水平?为什么? 年底该乡能否达到小康水平 为什么?
分析:本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。 分析:本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。
97 (n=
  1) )
320
720
320 + 720
该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润 乙上缴利润 该乡从两个企业中获得的总利润 甲上缴利润+乙上缴利润 甲上缴利润
年份
甲企业 乙企业 总利润
98 99 2000 (n=
  2) (n=
  3) (n=
  4) ) ) )
320 ×
  1.5
2 720 × 3

3
3
(第n年) 年
320 ×
  1.5 n ?1
? 2 ? 720 × ? ? ? 3 ?
n ?1
320 ×
  1.5 2
? 2 ? 720 × ? ? ? 3 ?
2
320 ×
  1.5
? 2 ? 720 × ? ? ? 3 ?
年该乡从两企业获得总利润为y万元 略解:(
  1)设第 年该乡从两企业获得总利润为 万元。 )设第n年该乡从两企业获得总利润为 万元。 y=320 ×
  1.5 +
≥ 2
n ?1
? 2 ? 720 × ? ? ? 3 ?
n ?1
n ?1
? 3 ? 320 × ? ? 2 ? ?
? 2 ? × 720 × ? ? 3 ? ?
n ?1
= 960
当且仅当n=2时,即98年总利润最少为 时 年总利润最少为y=960万元。 万元。 当且仅当 年总利润最少为 万元
故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温饱问题。 万元才能解决温饱问题。 故还需筹集 万元才能解决温饱问题
年时, 此时y= (
  2)2005年时,n=9此时 3
  20×
  1.5 ) 年时 此时
8
?2? + 720 × ? ? ?3?
8
=82
  01.25+
  28.9
≥ 8200
年底该乡能达到小康水平。 即2005年底该乡能达到小康水平。 年底该乡能达到小康水平
米的等边三角形ABC的 例
  4、 某县一中计划把一块边长为 米的等边三角形 、 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形 的 边角地辟为植物新品种实验基地,图中DE需把基地分成面积相 边角地辟为植物新品种实验基地,图中 需把基地分成面积相 等的两部分, 在 上 等的两部分,D在AB上,E在AC上。 在 上 表示y的函数关系式 (
  1) 设AD=x(x≥
  10),ED=y,试用 表示 的函数关系式; ) , ,试用x表示 的函数关系式; 是灌溉输水管道的位置, (
  2) 如果 是灌溉输水管道的位置,为了节约,则希望它 ) 如果DE是灌溉输水管道的位置 为了节约, 最短, 的位置应该在哪里 如果DE是参观线路 的位置应该在哪里? 是参观线路, 最短,DE的位置应该在哪里?如果 是参观线路,则希望它 最长, 的位置又应该在哪里 说明现由。 的位置又应该在哪里? 最长,DE的位置又应该在哪里?说明现由。
分析要求y与x的函数关系式,就是找出
DE与AD的等量关系。 (
  1)三角形ADE中角A为600 故由余弦定理可得y、 、 三者关系 三者关系。 故由余弦定理可得 、x、AE三者关系。 (
  2)S ? ADE = 1 S ? ABC
2
的边长为20米 解:(I)∵?ABC的边长为 米,D在AB上,则
  10≤x≤
  20。 :( ) 的边长为 在 上 。
S ?ADE = 1 1 1 3 S ?ABC ,∴ ? x ? AE ? sin
  60° = ? ? (
  20) 2 , 2 2 2 4

200 , 在 ? ADE 中 , 由余弦定理得 ; x 4 ? 10 4 2 ∴ y = x + ? 200 ( 10 ≤ x ≤ 20 2 x AE =
)
做为输水管道, 的最小值。 (II)若DE做为输水管道,则需求 的最小值。 ) 做为输水管道 则需求y的最小值
4 ?104 4 ?104 ∴ y = x 2 + 2 ? 200 ≥ 400 ? 200 = 10 2 ,当且仅当x 2 = 2 x x
等号成立; 即x = 10 2时, 等号成立; 做为参观线路, 的最大值。 若DE做为参观线路,须求 的最大值。 做为参观线路 须求y的最大值 令 x = t ∈ [100 , 400 ], ∴ y =
2

4 ? 10 4 f (t ) = t + , 任取 100 ≤ t1 < t 2 ≤ 400 , t
4 ? 10 t+ t
4
? 200
4 ?104 4 ?104 t1t2 ? 4 ?104 ) ? (t2 + ) = (t1 + t2 ) ∴ f (t1 ) ? f (t2 ) = (t1 + t1 t2 t1t2 当1
  00≤t1<t
  2≤200时,104<t1t2<4?104, 时 ∴t1t2-4?104<
  0,又t1-t2<0,t1t2>0,∴f(t
  1)>f(t
  2), , ∴ , 上是减函数。 则f(t)在[1
  00,200]上是减函数。 在 , 上是减函数 当2
  00≤t1<t
  2≤400时,4?104<t1t2<42?104, 时 ∴t1t2-4?104>
  0,又t1-t2<0,∴f(t
  1)<f(t
  2), , ∴ , 则f(t)在[2
  00,400]上是增函数。 ymin = 300 = 10 2 ∴当t=2
  00,即 x = 10 2 , 当t=100或t=400即x=10或20时, nax = 300 = 10 3 或 即 或 时 y
故若DE是输水管道的位置, 故若 是输水管道的位置,则需使 x = 10 是输水管道的位置 是参观线路, 若DE是参观线路,则需使 是参观线路 则需使x=10或20 或
2
北纬
  40° 东经1
  20°) 飞往智利的圣地亚哥 例
  5、从北京 北纬 °,东经 、从北京(北纬 ° (南纬 °,西经 °),有两条航空线供其选择: 南纬
  30° 西经
  70° ,有两条航空线供其选择: 南纬 甲航空线: 甲航空线:从北京向西飞到纽约(北纬4
  00,西 经
  70°),然 后向南飞到目的地. 后向南飞到目的地. 乙航空线:从北京向南飞到澳大利亚的弗里曼特尔(南纬 乙航空线:从北京向南飞到澳大利亚的弗里曼特尔 南纬
  30°,东经 ° 东经1
  20°),然后向西飞到目的地.请问:哪一条航空线 ° ,然后向西飞到目的地.请问: 较短?(飞行航线走的都是球面距离) ?(飞行航线走的都是球面距离 较短?(飞行航线走的都是球面距离) 分析:甲航线 分析:甲航线A C B。 乙航线 D B。 。 乙航线A 。 l甲 = l AC + l CB l 乙 = l AD + l DB
l AD 与 l CB 长度有什么关系 ?
C
O1 A O
(两者相等,因两弧都在经度线,即地球 两者相等,因两弧都在经度线, 两者相等 大圆上, 大圆上,且角AOD与角COB相等为7
  00) 大小, 只需比较 l AC l DB 大小,而两弧都是地球大 圆上的弧长,故只需比较AC与 大小 大小。 圆上的弧长,故只需比较 与BD大小。
B
O2 D
AC = 2R cos 400 sin 650
BD = 2R cos 30 0 sin 65 0
由此可得BD>AC 由此可得
具体解答过程同 即甲航空线较短。 学们课后整理。 即甲航空线较短。 学们课后整理。

  6、荆州市某电脑公司在市区和洪湖各有一分公司,市区分公 、荆州市某电脑公司在市区和洪湖各有一分公司, 司现有电脑6台 洪湖分公司有同一型号电脑12台 司现有电脑 台,洪湖分公司有同一型号电脑 台,宜昌某单位 向该公司购买该型号电脑10台 向该公司购买该型号电脑 台,荆门某单位向该公司购买该型 号电脑8台 已知市区运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是40 号电脑 台,已知市区运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是 元和30元 洪湖运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是80元和 元和 元,洪湖运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是 元和 50元. 元 台至宜昌, (
  1)设从洪湖调运 台至宜昌,该公司运往宜昌和荆门的总运 )设从洪湖调运x台至宜昌 费为y元 关于x的函数关系式 费为 元,求y关于 的函数关系式; 关于 的函数关系式; (
  2)若总运费不超过 )若总运费不超过1000元,问能有几种调运方案? 元 问能有几种调运方案? (
  3) 求总运费最低的调运方案及最低运费. ) 求总运费最低的调运方案及最低运费.
宜昌(要10台) 荆州 有6台
40元/台 元台 80元/台 元台
公司
购买 单位
数量
运费
宜昌 荆门 荆州 (要8台) 洪湖
50元/台 元台
10-x
  40(10-x) ) X-4

  30(x-
  4) ( )
30元/台 元台
荆门 宜昌
有12台
洪湖 荆门
x 80x x∈ N 12-x
  50(12-x) ( )
注:x 取值 范围 是什 么? 4 ≤ x ≤ 10
略解:( )设从洪湖调运x台至宜昌 则由题意可得: 台至宜昌, 略解:(
  1)设从洪湖调运 台至宜昌,则由题意可得: :( y=
  40(10-x)+
  30(x-
  4)+80x+
  50(12-x) ( ) ( ) ( ) 得:y=20x+880
4 ≤ x ≤ 10 x∈ N
y x (
  2) ≤ 1000 即 20 x + 880 ≤ 1000 得: ≤6 ) 而 4 ≤ x ≤ 10 故X=
  4、
  5、6 、 、 所以有三种调配方案总运费不超过1000元。 所以有三种调配方案总运费不超过 元
取最小时, 值最小 值最小。 (
  3)显然 取最小时,y值最小。 )显然x取最小时 最小为960元。 即x=4时,y最小为 时 最小为 元

  7、GDP(Gross Domestic Product)称为国内生产总值 我 、 ( )称为国内生产总值. 国这四年GDP值如下表: 值如下表: 国这四年 值如下表 19
 

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