高三数学课件:总体估计




  1.4 总体分布的估计
用样本来估计总体, 用样本来估计总体,是研究 统计问题的一个基本思想方法 总体分布的估计:对于通常不 总体分布的估计 对于通常不 易知道的总体分布,总是用样本的 易知道的总体分布 总是用样本的 频率分布对它进行估计,一般地 一般地, 频率分布对它进行估计 一般地 样本容量越大,估计就越准确 估计就越准确. 样本容量越大 估计就越准确
  1. 总体取值的概率分布规律 总体取值的概率分布规律 通常称为总体分布. 通常称为总体分布

  2.频率分布。
量的比, 样本中所有数据(或数 据组)的频数和样本容 量的比, 样本中所有数据( 据组) 就是该数据的频率 .
所有数据( 所有数据(或者数据组 )的频数的分布变化规 律 叫做样本频率分布 .
频率分布的表示形式有 :
样本频率表; 样本频率表;
样本频率分布条形图; 样本频率分布条形图;
样本频率分布直方图 .
(
  1) 离散型 当总体中的个体 离散型:当总体中的个体 所取的不同数值较少时, 所取的不同数值较少时,其随机 变量是离散型的. 变量是离散型的
试验结果 频率

  0.6 ?
  0.4 ?
频 数
频 率
条形图 试验结果
0 1
(
  2) 连续型 当总体中的个体所取的数值较 连续型:当总体中的个体所取的数值较 甚至无限时,其随机变量是连续型的. 多,甚至无限时,其随机变量是连续型的
频率分布表
分 组 频数累计 频 数 频 率
样本频率分布
?? ? ? ?→ 组距无限缩小
当样本容量增大
频率 频率分布直方图 频率分布 总体分布 直方图 组距
一条光滑曲线
总体分布的频率 密度曲线

  25.295
  25.355
产品尺寸
Y
(
  3)总体密度 总体密度 曲线
a b X 总体在区间( , )内取值的概率: 总体在区间(a,b)内取值的概率:
P(a < ξ < b) = S阴影

  3.频率分布条形图和频率 分布直方图.
两者是不同的概念 .虽然它们的横坐标表示 的 内容是相同的, 内容是相同的,但是频 率分布条形图的纵轴 矩形的高) (矩形的高)表示频率 ; 矩形的高) 频率分布直方图的纵轴 (矩形的高)表示 频率与组距的比值,其 相应组距上的频率 频率与组距的比值, 等于该组距上的面积

  4.频率分布直方图的画法 :
1 .计算样本中数据(随机 变量取值)的最大值、 变量取值)的最大值、 () 计算样本中数据( 最小值的差(极差), 确定数据(随机变量取 值) 最小值的差(极差), 确定数据( 的范围; 的范围;
2 决定组距与组数; ( )决定组距与组数; 常分为5 ~ 12组, 极差 组距 = 组数
(
  3).决定分点; 决定分点; 若某数据恰好等于分点 , 可把分点数字稍微减少 一些; 一些;
分 组 频数累计 频 数 频 率
(
  4)列出频率分布表; 列出频率分布表;

  1).画频率分布直方图; 画频率分布直方图;
频率 2 .长方形的面积 = 组距 × = 频率. ) 组距
的样本, 例题 .有一容量为 50的样本,数据的分组 及各组的频数如下表格 所示 :
分组 [
  25,
  30) [
  30,
  35) [
  35,
  40) [
  40,
  45) [
  45,
  50) [
  50,
  55) [
  55,
  60) 合计 频数 3 8 9 11 10 5 4 50 频率
  0.06
  0.16
  0.18
  0.22
  0.20
  0.10
  0.08
  1.00
1 分布表; ()填写完成样本的频率 分布表; (2 画出频率分布直方图 . )
解(
  1)频率分布表如下: )频率分布表如下: 分组 频数 [
  25,
  30) 3 [
  30,
  35) 8 [
  35,
  40) 9 [
  40,
  45) 11 [
  45,
  50) [
  50,
  55) [
  55,
  60) 合计 (
  2)直方图如下: )直方图如下:

  0.3
  0.2
  0.1
频率
  0.06
  0.16
  0.18
  0.22
  0.20
  0.10
  0.08
  1.00
10 5 4 50
频率/组矩 频率 组矩
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
样本数据
例题
  2.已知某中学一个班 60 名同学的数学 测试成绩 :
92 69 87 63 83 79 88 75 68 87 74 80 76 96 64 89 69 63 91 81 49 71 64 65 68 85 52 90 66 47 94 35 80 62 97 76 74 69 78 98 95 43 58 81 72 77 73 64 58 78 91 88 65 49 86 53 60 84 72 61
()列出频率分布表; 1 列出频率分布表; 2 ( )画出频率分布的直方 图; 3 估计不及格和优生( 分以上) ()估计不及格和优生(80分以上) 的概率分别是多少? 的概率分别是多少?
(
  1) 频率分布表
分 组 频 数 频 率
30~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~100
1 4 4 16 13 13 9

  0.017
  0.068
  0.068
  0.261
  0.218
  0.218
  0.15
(
  2).直方图 直方图
频率/组矩 频率 组矩
1 3 1
6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
样本数据
(
  3).由频率分布表可知,不 及格的概率为: 由频率分布表可知, 及格的概率为: 9 3 = = 15 \% 60 20 38 又由于 80 分以下的概率为 , 60 38 11 因此, = ≈ 37 \% 因此,本班数学的优秀 概率为 1 ? 60 30
例题对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下: 例题对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:
寿命 个数
100~200
200~300
300~400 400~500
500~600
20
30
80
40
30

  1)列出频率分布表; )列出频率分布表; (
  2)画出频率分布直方图和累积频率分布图; )画出频率分布直方图和累积频率分布图; 以内的概率; (
  3)估计电子元件寿命在 )估计电子元件寿命在100h~400h以内的概率; 以内的概率 以上的概率; (
  4)估计电子元件寿命在 )估计电子元件寿命在400h以上的概率; 以上的概率 (
  5)估计总体的数学期望 )估计总体的数学期望.

  1)列出频率分布表; )列出频率分布表; 寿命 频数 频率 100~200 20
  0.10 30
  0.15 200~300
  0.40 80 300~400
  0.20 40 400~500 500~600 合计
频率/组距 频率 组距
累积频率
  0.10
  0.25
  0.65
  0.85 1
30 200

  0.15 1
累积频率

  1.00

  0.80
  0.60
  0.40
  0.20
? ? ?
?
?
0
100 200300400 500 600 寿命( h) 寿命(
0
100 200300400 500 600 寿命( 寿命( h)
?
3 以看出, ()由累积频率分布图可 以看出,寿命在 100h ~ 400 的电子元件出现的频率 为 : 0
  65,所以我们估计电子 元件寿命在 100h ~ 400h的概率为 :
  0.
  65.
由频率分布表可知, (4 .由频率分布表可知,寿 命在 400 h以上的电子 ) 元件出现的频率为 :
  0.20 +
  0.15 =
  0.
  35,故我们 估计电子元件寿命在 400 h以上的概率为 :
  0.35 .
(
  5).样本的期望值为: 样本的期望值为: 100 + 200 200 + 300 300 + 400 ×
  0.10 + ×
  0.15 + ×
  0.40 + 2 2 2 400 + 500 500 + 600 ×
  0.20 + ×
  0.15 = 15 + 140 + 90 + 82 .5 = 365 . 2 2 ∴ 我们估计总体生产的电 子元件的寿命的 期望值(总体均值) 期望值(总体均值)为 365 .
 

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