数值分析课件 第四章 多项式插值与函数逼近2



§3 埃尔米特插值 /* Hermite Interpolation */
不仅要求函数值重合,而且要求若干阶导数也重合。 不仅要求函数值重合,而且要求若干阶导数也重合。 导数也重合 ? 即:要求插值函数 满足 ? ( xi ) = f ( xi ), ′( xi ) = f ′( xi )
? ′′( xi ) = f ′′( xi ) ? ( m ) ( xi ) = f ( m ) ( xi ) i = 0,1,L , n
N 个条件可以确定 N ? 1 次多项式。 次多项式。 要求在1个节点 x0 处直到 0 阶导数都重合的插 要求在 个节点 处直到m 值多项式即为Taylor多项式 值多项式即为 多项式 f ( m0 ) ( x0 ) ? ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x ? x0 ) + ... + ( x ? x0 )m0 m0 !
f ( m0 +
  1) (ξ ) ( x ? x 0 ) ( m 0 +1 ) 其余项为 R( x ) = f ( x ) ? ? ( x ) = ( m 0 +
  1)!
注:
的值。 一般只考虑 f ( x) f ′( x)的值。 与
对于Hermite插值问题,主要讨论下面的特殊情形: 插值问题,主要讨论下面的特殊情形 特殊情形: 对于 插值问题 Qestion:已知函数 f ( x ) 在互异节点{ xi }i = 0处的函数值 { f ( xi )}i = 0
n
n
以及导数值 { f ′( xi )}i = 0 要构造不超过 ,要构造不超过2n+1次的多项式 H2n+1( x) 次的多项式
n
满足如下的2n+2个条件 个条件 满足如下的
? H 2 n +1 ( xi ) = f ( xi ) ? ? ? H 2 n +1 ( xi ) = f ′( xi ) ? ′
i = 0,1, 2,L , n
称上述问题为全导数的Hermite插值问题
一、全导数的Hermite插值多项式的构造 全导数的 插值多项式的构造 思 想 类似于Lagrange插值多项式的构造方法,即通过构 插值多项式的构造方法, 类似于 插值多项式的构造方法 插值基函数来表示 插值多项式。 造一组插值基函数来表示Hermite插值多项式。 造一组插值基函数来表示 插值多项式
n n
设满足前述2n+2个条件的插值多项式 H2n+1( x)为 个条件的插值多项式 设满足前述
H2n+1( x) = ∑ f ( xi )αi ( x) + ∑ f ′( xi )βi ( x)
?α i ( x j ) = δ ij ? ? α i′( x j ) = 0 ? ?
其中 αi ( x) , β
i =0
i =0
i
( x) 满足
?βi ( x j ) = 0 ?1 i = j ? δij = ? ? ?0 i ≠ j β i′ ( x j ) = δ ij ? ? i , j = 0 , 1, 2 , L , n
α i ( x ) 和 β i ( x ) 的计算方法: 的计算方法:
αi ( x) 和 βi ( x) 均为 均为2n+1次多项式,且有 个二重根 次多项式, 次多项式 且有n个二重根 x0 ,L , xi ?1 , xi +1 ,L , xn 令 α ( x ) = ( A x + B )l 2 ( x ) i i i i
( x ? x0 )( x ? x1 )L( x ? xi ?1 )( x ? xi +1 )L( x ? xn ) 其中 li ( x ) = ( xi ? x0 )( xi ? x1 )L( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 )L( xi ? xn )
α i′( x ) = A l ( x ) + ( Ai x + Bi ) ? l ( x )? ? ?
2 i i 2 i

代入条件
?αi ( xi ) = Ai xi + Bi = 1 ? ?αi′( xi ) = Ai + 2( Ai xi + Bi )li′( xi ) = 0
′ = 2l ( x)l′( x) ?l ( x)? i i ? ?
2 i
解之得
? ( x ? x0 )( x ? x1 )L( x ? xi ?1 )( x ? xi +1 )L( x ? xn ) ?′ li′( x ) = ? ? ? ( xi ? x0 )( xi ? x1 )L( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 )L( xi ? xn ) ?
1 1 ? li′( xi ) = Ai =?
  2∑ ? k=0 x ? xk k =0 xi ? xk i ? k≠i ? k ≠i ? n 1 ?B =1? Ax =1+ 2x i i i∑ ? i k=0 x ? xk i ? k≠i ?
n

n
=∏
k =0 k ≠i
n
1 ?( x ? x0 )L( x ? xi ?1 )( x ? xi +1 )L( x ? xn )?′ ? ? xi ? xk
从而得到插值基函数 从而得到插值基函数α i ( x )
α i ( x ) = [1 + 2 ( x i ? x ) ∑
i = 0 , 1, 2 , L , n 下面求另一组插值基函数 下面求另一组插值基函数β ( x ) i
2 i i
n
k=0 k≠i
1 2 ]l i ( x ) xi ? x k
令β
i
( x) = Ci ( x ? xi )l ( x)
2 i
? ′? =1 2 ? ? βi′( xi ) = C l ( xi ) + Ci ?( x ? xi ) ?li ( x)? ? ? ? x= xi C i = 1 i = 0,1, 2,L , n
?βi ( x j ) = 0 ? i , j = 0,1,L, n ? ?β i′ ( x j ) = δ ij ?
βi ( x) = ( x ? xi )l ( x)
2 i
全导数的Hermite插值多项式
H2n+1 ( x) = ∑ f ( xi )αi ( x) + ∑ f ′( xi )β i ( x)
i =0 i =0
n
n
其中
α i ( x ) = [1 + 2( xi ? x )∑
k =0 k ≠i
n
1 2 ]li ( x ) xi ? xk
β i ( x ) = ( x ? xi )l ( x ) i = 0,1, 2,L , n
2 i
如n=1时Hermite插值多项式 H 3 ( x ) 为 时
? ? x0 ? x ?? x ? x1 ? x1 ? x ?? x ? x0 ? H3(x) = f (x0 )?1+ 2 ?? ? + f (x
  1)?1+ 2 ?? ? x0 ? x1 ?? x0 ? x1 ? x1 ? x0 ?? x1 ? x0 ? ? ? ? x ? x1 ? ? x ? x0 ? + f ′(x0 )(x ? x0 )? ? + f ′(x
  1)(x ? x
  1)? ? ? x0 ? x1 ? ? x1 ? x0 ? 插值多项式的几何意义 全导数的Hermite插值多项式的几何意义
H9(x) ≈ f(x)
2 2
2
2
y = f ( x) y = H9 ( x)
x0 x1 x2 x x3 x4
全导数的Hermite插值多项式的存在唯一性和余项 二、 全导数的 插值多项式的存在唯一性和余项 满足前述插值条件的不超过2n+1次的插值多 次 Th
  4.
  3.1满足前述插值条件的不超过 唯一存在的 存在的。 项式 H 2 n+1 ( x )是唯一存在的。 证明: 证明: 存在性由前面的构造过程已证; 存在性由前面的构造过程已证; 已证 令 ψ ( x ) = H 2 n+1 ( x ) ? H 2 n+1 ( x ) 设
H 2 n +1 ( x ) 也是满足前述插值条件的不超过 也是满足前述插值条件的不超过2n+1次的插值多项式 次
?ψ ( xi ) = 0 i = 0,1, 2,L , n ? ?ψ ′( xi ) = 0
因此,多项式ψ ( x )有n+1个二重零点 因此, 个二重零点
矛盾! 矛盾!
n
{ x i }i = 0
在区间[a,b]上有2n+1阶连续导 [a,b]上有 Th
  4.
  3.2 设被插值函数 f ( x) 在区间[a,b]上有 阶连续导
f ( x) 关于互异节点 { xi }i = 0 ? [a , b]的满足前述插值条 件的不超过2n+1次的插值多项式,则对 ?x ∈ [a , b] 件的不超过 次的插值多项式, 次的插值多项式
n
数,f
(2n+
  2)
(x) 在区间(a,b)内存在, H 2 n+1 ( x ) 是 a,b)内存在,
?ξ = ξ ( x ) ∈ [a , b]成立
f (ξ ) 2 R2n+1( x) = f ( x) ? H2n+1( x) = ωn+1( x) (2n +
  2)!
( 2 n+ 2 )
证明方法同
Th
  4.
  1.2 完全类似

  1:已知函数 y = f ( x ) : 在点
x i = i ( i = 0,1, 2 )数据表: 数据表:
0 1 -1
2
xi
f ( xi ) f ′( xi )
应用Hermite插值计算 插值计算 应用 解:
2
1 2 0
2 3 1
f (
  1.
  5)的近似值。 的近似值。
i =0
H5 ( x) = ∑ f ( xi )αi ( x) + ∑ f ′( xi )β i ( x)
i =0
α i ( x ) = [1 ? 2( xi ? x )∑
k =0 k ≠i
2
1 2 ]li ( x ) xi ? xk
β i ( x ) = ( x ? xi )l ( x ) i = 0,1, 2
2 i
1 1 ( x ?
  1)( x ?
  2) 2 α0 ( x) = [1 ? 2( x ?
  0)( + )][ ] 0 ? 1 0 ? 2 (0 ?
  1)(0 ?
  2) 1 = (1 + 3 x )( x ?
  1)2 ( x ?
  2)2 4 1 1 ( x ?
  0)( x ?
  2) 2 α1 ( x ) = [1 ? 2( x ?
  1)( )][ ] + 1 ? 0 1 ? 2 (1 ?
  0)(1 ?
  2)
= x 2 ( x ?
  2)2
1 1 ( x ?
  0)( x ?
  1) 2 α2 ( x ) = [1 ? 2( x ?
  2)( )][ ] + 2 ? 0 2 ? 1 (2 ?
  0)(2 ?
  1) 1 2 2 = (7 ? 3 x ) x ( x ?
  1) 4
1 2 2 β 0 ( x ) = ( x ?
  0)l ( x ) = x( x ?
  1) ( x ?
  2) 4 β1 ( x) = ( x ?
  1)l12 ( x) = ( x ?
  1) x 2 ( x ?
  2)2 1 2 β 2 ( x ) = ( x ?
  2)l2 ( x ) = ( x ?
  2) x 2 ( x ?
  1)2 4
2 0
H 5 ( x ) = ∑ f ( xi )α i ( x ) + ∑ f ′( xi )β i ( x )
i=0 i =0
2
2
25 2 1 4 1 5 3 x ? 5x + x + x = 1? x + 4 4 2
f (
  1.
  5) ≈ H5(
  1.
  5) =
  1.75
不完全导数的Hermite插值多项式举例 三、 不完全导数的 插值多项式举例

  2:已知函数 y = f ( x )在的 :
xi ( i = 0,1,
  2) 数据表: 数据表:
xi
f ( xi ) f ′( xi )
x0
f ( x0 )
x1
x2
f ( x
  1) f ( x2 )
f ′( x0 )
构造Hermite插值多项式 H 3 ( x ) 满足 插值多项式 构造
? H 3 ( xi ) = f ( xi ) i = 0,1, 2 ? ′ ? H 3 ( x 0 ) = f ′( x 0 )
并推导其插值余项( 具有4阶连续导数)。 并推导其插值余项(已知 f ( x ) 具有4阶连续导数)。 插值余项
解: 首先构造满足插值条件 H 3 ( xi ) = f ( xi ) i = 0,1, 2 的多项式
N2(x) = f (x
  0)+ f [x0, x1](x? x
  0)+ f [x0, x1, x2](x? x
  0)(x? x
  1)

H3 ( x) = N2 ( x) + k( x ? x0 )( x ? x1 )( x ? x2 )
H3 ( xi ) = f ( xi ) i = 0,1, 2
′ 由 H 3 ( x 0 ) = f ′( x 0 )
′ f ′( x0 ) ? N 2 ( x0 ) k= ( x0 ? x1 )( x0 ? x2 )
′ N 2 ( x0 ) + k ( x0 ? x1 )( x0 ? x2 ) = f ′( x0 )
f ′( x0 ) ? f [ x0 , x1 ] ? f [ x0 , x1 , x2 ]( x0 ? x1 ) = ( x0 ? x1 )( x0 ? x2 )
插值余项的推导:设 插值余项的推导: 余项的推导 构造辅助函数
= k( x)( x ? x0 ) ( x ? x1 )( x ? x2 )
2
R3 ( x) = f ( x) ? H3 ( x)
g(t ) = f (t ) ? H3 (t ) ? k( x)(t ? x0 )2 (t ? x1 )(t ? x2 ) g(t ) 有4个零点 xi(i=0,1,
  2)、x 且 g′( x0 ) = 0 ( x ≠ xi ) 个零点 (i=0,1,
  2)、
由罗尔( 由罗尔(Roll)定理: )定理: 反复利用Roll定理 定理 反复利用
g′(t ) 至少有 个互异零点 至少有4个互异零点
g(
  4) (t ) 至少有 个零点 ξ 至少有1个零点
(t ) ? 4 ! k ( x )
而g
(
  4)
(t ) = f
(
  4)
k( x) =
f
(
  4)
f (ξ ) 2 R3 ( x) = ( x ? x0 ) ( x ? x1 )( x ? x2 ) 4!
(
  4)
(ξ ) 4!
§4 分段插值 /* piecewise Interpolation */
一、高次插值评述
  1、从插值余项角度分析
f ( n+
  1) (ξ ) ωn+1( x) Rn+1( x) = f ( x) ? Hn+1( x) = (n +
  1)!
为了提高插值精度,一般来说应该增加插值节点的个数,这 为了提高插值精度,一般来说应该增加插值节点的个数, 插值精度 增加插值节点的个数 从插值余项的表达式也可以看出,但不能简单地这样认为, 从插值余项的表达式也可以看出,但不能简单地这样认为,原因 有三个: 有三个: 1插值余项与节点的分布有关; 插值余项与节点的分布有关; 节点的分布有关 2余项公式成立的前提条件是 f ( x )有足够阶连续导数(即函数 足够阶连续导数( 足够光滑),但随着节点个数的增加,这个条件一般很难成立; ),但随着节点个数的增加 足够光滑),但随着节点个数的增加,这个条件一般很难成立; 随着节点个数的增加, 可能会增大。 3随着节点个数的增加,f ( n+
  1) (ξ ) 可能会增大。
随着节点个数增加到某个值,误差反而会增加。 随着节点个数增加到某个值,误差反而会增加。 某个值
10 1 例
  3:在[?5, 5]上考察 f ( x) = : ? 上考察 。 x = ?5 + i(i = 0, ... , n) 2 的Ln(x)。取 i n 1+ x

  2.5
Ln(x) × f (x) →
y = f ( x) n=2 n=5 n = 10
5
2

  1.5
1
注意下面图中 曲线的变化情况 的变化情况! 曲线的变化情况!

  0.5
0
-
  0.5 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
n 越大,端点附近误差 越大,端点附近误差 越大,称为Runge 现象 越大,称为
二、 分段插值的构造方法 将插值区间划分为若干个小区间(通常取等距划分) 插值区间划分为若干个小区间(通常取等距划分) 划分为若干个小区间 等距划分
a
上得到分段函数 在区间 [a , b] 上得到分段函数
xi
xi+1
b
Pi ( x )
采用低次插值 采用低次插值 低次
? p0 ( x) x ∈? x0 , x1 ? ? ? ? x ∈? x1, x2 ? ? p1( x) ? ? f ( x ) ≈ ?( x) = ? ? M ? p ( x) x ∈? x , x ? ? n?1 n ? ? n?1
(
  1)、分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */ 、 直线) 在每个区间 [ xi , xi +1 ] 上,用1阶多项式 (直线 逼近 f (x): 阶多项式 直线
x ? xi +1 x ? xi f ( x) ≈ Pi ( x) = yi + yi +1 ? x ∈ [ xi , xi +1 ] xi ? xi +1 xi +1 ? xi
Pi ( x) = li ( x) yi + li +1( x) yi +1 ? x ∈ [ xi , xi +1 ]
? x ∈ [a , b ]
分段线性 分段线性 插值基函数 插值基函数
?( x) = ∑ f ( x j ) l j ( x)
j =0
n
?1 i = j l j ( xi ) = δ ji = ? ?0 i ≠ j
? x ? x1 x0 ≤ x ≤ x1 ? l0 ( x) = ? x0 ? x1 x0 x1 x 2 ? 0 x1 ≤ x ≤ x2 ? l0 ( x) y0 + l1( x) y1 + l2 ( x) y2 ? x ? x0 ? x ? x x0 ≤ x ≤ x1 ? 1 0 l1( x) = ? ? x ? x2 x ≤ x ≤ x 1 2 ? ? x1 ? x2
? x ? x1 x1 ≤ x ≤ x2 ? l2 ( x) = ? x2 ? x1 ?0 x0 ≤ x ≤ x1 ?
? x ? xn?1 ? ln ( x ) = ? xn ? xn ?1 ?0 ?
? x ? x j ?1 x j ?1 ≤ x ≤ x j ? x j ? x j ?1 ? ? x? x ? j +1 l j ( x) = ? x j ≤ x ≤ x j +1 j = 1, 2,L, n ?1 ? x j ? x j +1 ? 0 x ∈ { [ a, b] ? ? x j ?1 , x j +1 ?} ? ? ? ? ?
xn?1 ≤ x ≤ xn x0 ≤ x ≤ xn ?1
分段线性插值从整体上看,逼近效果是较好的, 分段线性插值从整体上看,逼近效果是较好的,但失去了 原函数的光滑性 光滑性。 原函数的光滑性。 设给定节点 a = x0 < x1 < x2 < L < xn = b Th
  4.
  4.1 及相应的函数值
y0 , y1 , y2 ,L , yn , f ( x ) ∈ C [a , b]
1

f ′′ ( x ) 在[a,b]上存在,? ( x ) 是在[a,b]上由数据 ( x i , y i ) [a,b]上存在 上存在, 是在[a,b] [a,b]上由数据 2 h M 构成的分段线性插值函数, 构成的分段线性插值函数,则 | R( x ) |=| f ( x ) ? ? ( x ) |≤ 8
其中
h = max ( xi +1 ? xi ), M = max | f ′′( x ) |
0 ≤ i ≤ n ?1 a≤ x≤b
  •  
 

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  第二篇 呼吸系统疾病 第十四章呼吸衰竭(Respiratory Failure) 刘 谨 学时数: 学时数:2学时讲授目的和要求1.掌握呼吸衰竭的病因、发病机制和病理生理 2.掌握呼吸衰竭时的血气分析改变、酸碱失衡和电解质 紊乱的意义 3.掌握慢性呼吸衰竭的临床表现和处理原则讲授主要内容概述 病因 发病机制 临床表现 诊断标准 治疗概 述定 义各种原因引起的肺通气和(或)换气功能严重障碍, 以致于不能进行有效的气体交换,导致缺氧伴(或不伴) 二氧化碳潴留,从而引起一系列生理功能和代谢紊乱的 临床 ...

《幂的乘方与积的乘方》复习课课件

  幂的乘方与积的乘方1知识回顾1、同底数的幂相乘 、 法则:同底数的幂相乘,底数不变,指数相加。 法则:同底数的幂相乘,底数不变,指数相加。 数学符号表示: 数学符号表示:(其中m、n为正整数) 为正整数) 其中 、 为正整数a ?a = am nm+n练习:判断下列各式是否正确。 练习:判断下列各式是否正确。a ? a = 2a , b + b = b , m + m = 2m3 3 3 4 4 8 2 22(?x) ? (?x) ? (?x) = (?x) = x3 2 662、幂的乘方 、法 ...

幼儿园教育教学计划

  幼儿园教育教学计划( 幼儿园教育教学计划(2005 年 9 月?2006 年 7 月)www.hoingbaby.com 2008-4-17 21:46:57 来源:育星幼教网“赢在中国”红缨幼儿园加盟连锁 赢在中国”一、指导思想 认真贯彻、落实、执行《幼儿园教育指导纲要》精神,运用先进的教育理念,开展丰富多样 的幼儿教育活动,推动幼儿素质教育的全面发展;适应改革的需要,克服困难,爱岗敬业, 全心全意为家长、为社区服务。 二、工作目标 1、抓队伍建设,促综合素质提高 2、抓特色研究,促办园声誉提 ...